1.Vous disposez de une heure trente,

2.vos documents personnels sont autorisés,

3.le barème est donné à titre indicatif et est susceptible d'être modifié.

1.         Nombres de Fermat ( 5 pts)

Les nombres dits de Fermat sont donnés par la formule 2^(2^k) + 1. Le premier nombre de Fermat est donc 2^(2^1) + 1 = 5, le second nombre de Fermat est 2^(2^2) + 1 = 17.

1.1.      Ecrire une procédure Maple rendant la liste des nombres de Fermat jusqu’au premier nombre de Fermat non premier

2.         Algorithme de Syracusse ( 5 pts)

La suite des nombres de Syracusse partant de n consiste à diviser n par 2 si n est pair et à multiplier par 3 et ajouter 1 sinon. Cette opération étant poursuivie jusqu'a ce que n vaille 1.

Exemple : [5, 16, 8, 4, 2, 1] est la suite des nombres de Syracusse pour n = 10.

2.1.           Ecrire une procédure Maple rendant la liste des nombres de Syracusse pour un n donné

3.         Méthode de dichotomie (10 pts)

Il est possible de trouver une (mauvaise) approximation de la valeur d’une racine d’une fonction f dans un intervalle [a, b] par la méthode de la dichotomie. La technique est la suivante :

·        si le produit f(a)*f(b) est >0 alors prendre l’intervalle moitié en changeant la borne inférieure (a)

·        sinon prendre l’intervalle moitié en changeant la borne supérieure (b)

·        recommencer les opérations ci-dessus jusqu’à obtenir un intervalle de taille inférieure à la précision souhaitée.

Exemple : >dichotomie(cos, 1, 3, 0.00001) ; rendra la valeur 1.49999 (mauvaise approximation de Pi/2).

2.1.           Ecrire une procédure Maple rendant une approximation de la racine d’une fonction par la méthode de la dichotomie